Por que não encontro o código de afastamento desse tipo de licença?

É simples! A licença-paternidade, na verdade, recebe um tratamento diferente, em comparação a outros tipos de licença como, por exemplo, a licença maternidade.
Apesar de denominada como licença, o nascimento do filho dá direito ao trabalhador a se ausentar de suas atividades durante 5 dias sem prejuízo do salário.
Na verdade, estamos diante de faltas justificadas e não de licença. Por esse motivo a “Licença-Paternidade” está listada no artigo 473 da CLT, como uma das possibilidades de faltas que justificam o não desconto em folha de pagamento. Art. 473 - O empregado poderá deixar de comparecer ao serviço sem prejuízo do salário

Diante disso, o que devo informar no eSocial?

Após verificarmos a real natureza da licença-paternidade, resta concluir que no eSocial não existe a possibilidade de informar tal acontecimento.
Basta apenas que o trabalhador apresente a Certidão de Nascimento, documento pelo qual se comprova o nascimento da criação e sua filiação.
Se ainda assim a empresa desejar registrar algo sobre tal fato, é possível enviar esse afastamento, mas como Licença Remunerada, código 16.

Acesse a aba "Funcionário";
Clique em "Afastamento";
Selecione a empresa e funcionário;
Clique em "Novo";
Selecione o código de afastamento desejado, que neste caso seria o "Licença Remunerada (08)";
Informe os demais campos de "Motivo RAIS" e "Motivo eSocial (16)" caso não sejam preenchidos automaticamente;
Informe a "Data Inicial" do afastamento;
1. Preencha a data final de afastamento se já estiver confirmada a data de retorno do funcionário, para evitar que seja enviada a data de retorno incorreta para o eSocial;
Verifique se a opção de "Enviar alteração para o eSocial" está marcada, caso o afastamento deva ser enviado para o eSocial, mantenha esta opção marcada;
Se desejar, poderá informar alguma observação na aba "Informações complementares" > "Observações";
Após todas as informações estarem preenchidas, clique em "Gravar".